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Le moteur Ericsson

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Théorie du moteur Ericsson

Nous allons nous fixer comme objectif de dimensionner simplement un moteur Ericsson. Cette étude est purement théorique. Elle suppose que le cycle du moteur répond parfaitement au diagramme étudié à la page définissant les principes de fonctionnement de ce moteur.
En particulier, nous considérons comme acquis que la compression et la détente se réalisent à des températures strictement constantes, ce qui est peut-être difficile à respecter lors de la conception du moteur.

Au fur et à mesure de cette petite étude, nous allons utiliser des notions de thermodynamique, de cinématique, d'échange de chaleur. Le lecteur qui le souhaite peut se les remémorer en cliquant sur les liens précédents qui l'amèneront sur le site généraliste relatif aux moteurs à air chaud.

Moteur Ericsson et ses dimensions principales


Les dimensions permettant de calculer un moteur Ericsson sont les suivantes :
- la course du piston : d
- le diamètre du piston moteur : D1

En choisissant :
-la température de la source chaude Tmax
- la température de la source froide Tmin
- la pression du réservoir d'air stocké Ps
On pourra déterminer :

- le diamètre du compresseur : D2
- le travail effectué au cours d'un cycle : W
- le rendement du moteur : η

Nous déterminerons également à quel moment le tiroir doit cesser de mettre en relation le réservoir d'air avec le cylindre moteur ou, autrement dit, à quelle valeur de la course dinter la quantité d'air de travail nécessaire a été introduite dans le cylindre moteur et quelle est, à ce moment là, la valeur du volume V1 correspondant V1inter.

1. Détermination du diamètre D2 :

Lorsque le piston est en postion haute, le cylindre moteur est rempli d'air à la température Tmax . Cet air est aussi à la pression atmosphérique juste avant que le tiroir ne mette en relation ce cylindre avec l'atmosphère. On peut donc écrire :
PatmV1max = nRTmax (1)
Dans cette expression, toutes les valeurs sont déterminées (voir ci-dessus), elles nous permettent donc de connaître le nombre de molécules-grammes mises en jeu à chacune des phases de ce cycle d'Ericsson.

n = PatmV1max / RTmax

La valeur de n étant la même au cours des 4 phases du cycle,nous allons pouvoir dimensionner le cylindre de compression de l'air frais.
Quand le piston est en position basse, pour le cylindre supérieur, nous pouvons écrire :
PatmV2max = nRTmin (2)
En associant les équations (1) et (2), on obtient :
V2max = V1max Tmin / Tmax
Connaissant la valeur de la course d, nous pouvons calculer D2 .

D2 = 2 [V1max Tmin / (Tmax π d)]1/2

Nous allons maintenant préciser la valeur de V1 qui correspond au déplacement du tiroir afin d'interrompre le remplissage du cylindre moteur :
n = PatmV1max / RTmax = PsV1inter / RTmax

V1inter = V1max Patm / Ps
La valeur de la course à ce moment-là est ;
dinter = d Patm / Ps

De même, nous allons calculer le volume V2min qu'occupe l'air amené à la pression du réservoir Ps par le piston compresseur.
n = PatmV1max / RTmax = PsV2min / RTmin

V2min = V1max Patm Tmin / Ps Tmax

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2. Calcul du travail effectué au cours d'un cycle :

Nous allons réexaminer le diagramme PV du cycle Ericsson et porter sur celui-ci les valeurs décrites ci-dessus.
Diagramme PV du cycle d'Ericsson Nous voyons que nous connaissons maintenant toutes les valeurs qui apparaissent sur ce diagramme.
En application des notions de thermodynamique que nous avons acquises, nous allons calculer le travail récupéré au cours d'un cycle.

Pour cela, nous allons calculer l'intégrale W = ∫ p dV pour chacune des 4 phases.
- phase de mise à l'atmosphère AB : W1 = Patm ( V2max - V1max )
- phase de compression BC : W2 = ∫ p dV = ∫ ( nRTmin / V ) dV = nRTminln (V2min/ V2max )
- phase de remplissage CD : W3 = Ps ( V1inter - V2min )
- phase de détente DA : W4 = nRTmax ln (V1max/ V1inter )

Si on cumule l'ensemble des travaux élémentaires, on obtient :
W = ∑ Wi pour i allant de 1 à 4.
On remarqera que W1 et W2 sont négatifs et que W3 et W4 sont positifs.

En développant W1 et W3 en fonction des données d'entrée, on trouvera que :
W1 = - W3 = - Patm V1max ( 1 - Tmin / Tmax). Ceci était prévisible car la quantité de chaleur à fournir à l'air pour le chauffer de Tmin à Tmax est identique à la quantité de travail récupérée quand cet air passe de Tmax à Tmin .
L'expression du travail récupéré au cours d'un cycle se simplifie pour devenir :
W = W2 + W4 . En développant, on obtiendra :

W = nRTmax ( 1 - Tmin / Tmax) ln(Ps / Patm)

Il n'y a plus qu'à sortir les calculettes ou utiliser le logiciel montré ci-dessous qu'on peut télécharger en cliquant sur l'image.

Image de présentation du tableur 
		permettant de calculer les paramètres d'un moteur Ericsson

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3. Rendement du cycle :

Le rendement du moteur est égal au rapport entre l'énergie mécanique nette effectivement récupérée et l'energie calorifique qu'il est nécessaire de fournir au moteur. Cette dernière est fournie au cours du chauffage isochore et au cours de la détente isotherme.

3.3.1 Travail net récupéré :

Ce travail W a été calculé ci-dessus et vaut :
W = nRTmax ( 1 - Tmin / Tmax) ln(Ps / Patm)

3.3.2 Energie calorifique fournie :

Au cours d'une détente isotherme, la quantité de chaleur fournie au système est égale au travail récupéré au cours de cette même phase :
Qdet = ∫det PdV = W4 voir §2
Qdet = nRTmax ln (V1max/ V1inter )
Au cours du chauffage isobare, il a fallu fournir l'énergie suivante :
Qchauf = nCp (Tmax - Tmin)
où Cp est la chaleur molaire du gaz considéré pour un chauffage, à pression constante, d'une température Tmin à une température Tmax.
La quantité totale d'énergie calorifique fournie est donc de :
Qtotale = nCp (Tmax - Tmin) + nRTmax ln (V1max/ V1inter )
ou
Qtotale = nCp (Tmax - Tmin) + nRTmax ln (Ps/ Patm )

3.3.3 Rendement du cycle :

On peut donc écrire la valeur du rendement d'un cycle d'Ericsson :

Rendement d'un cycle d'Ericsson :
η = [RTmax ( 1 - Tmin / Tmax) ln(Ps / Patm)] / [Cp (Tmax - Tmin) + RTmax ln (Ps/ Patm )]

Le rendement du cycle d'Ericsson est égal au rendement du cycle de Carnot.
L'affirmation barrée ci-dessus, qu'on trouve trop souvent, est fausse si on a suivi le raisonnement exposé dans ce chapitre. En effet, le cycle de Carnot a pour valeur : ηCarnot = 1 - Tmin / Tmax ce qui est différent de la formule propre au rendement du cycle d'Ericsson.

Par contre, si on suppose que l'énergie nécessaire au réchauffage isobare (pendant le remplissage du piston moteur) est entièrement récupérée au cours du refroidissement isobare (pendant la mise à l'atmosphère, après la détente), c'est le rôle du régénérateur, alors l'efficacité du moteur Ericsson sera égale au rendement d'une machine de Carnot, jamais conçue, ayant les mêmes températures extrêmes de fonctionnement.
En effet, dans l'équation définissant le rendement η, le terme correspondant à l'énergie utile au chauffage isobare Cp (Tmax - Tmin) disparaît.
L'expression du rendement du moteur devient :
η = [RTmax ( 1 - Tmin / Tmax) ln(Ps / Patm)] / [ RTmax ln(Ps / Patm )]
ou encore, après simplification :

Rendement d'un moteur Ericsson avec un régénérateur :
η = 1 - Tmin / Tmax

Maintenant, on peut dire que le rendement d'un moteur Ericsson équipé d'un régénérateur est égal à celui du cycle de Carnot. Dans la réalité, l'hypothèse faite, récupérer totalement la chaleur du refroidissement isobare pour la restituer au cours du chauffage isobare, est très optimiste pour ne pas dire impossible à réaliser sur un plan pratique. Il faudrait pour ça que le régénérateur ait une efficacité de 100%. Concevoir un tel échangeur est une vrai gageure.

Le tableur, montré ci-dessus, vous permet de calculer le rendement du moteur Ericsson avec ou sans régénérateur.

Il ne faut pas oublier que le régénérateur est l'invention de Robert Stirling. Son principe est expliqué sur le site relatif au moteur Stirling à la page "le régénérateur ou économiseur du moteur Stirling". Le lecteur devra remplacer les expressions "chauffage isobare" et "refroidissement isobare" par les expressions "chauffage isochore" et "refoidissement isochore" mais dans les deux cas le but recherché est le même.

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Enfin, un grand merci à John Ericsson !

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